右図はある立体の展開図であり、扇形の面積は $48\pi \text{ cm}^2$ である。 (1) 線分OAの長さを求める。 (2) 扇形の中心角を求める。 円周率は $\pi$ とする。円の半径は $4$ cm である。

1. 問題の内容

右図はある立体の展開図であり、扇形の面積は $48\pi \text{ cm}^2$ である。

(1) 線分OAの長さを求める。

(2) 扇形の中心角を求める。

円周率は $\pi$ とする。円の半径は $4$ cm である。

2. 解き方の手順

(1) 線分OAの長さについて

扇形の半径を $r$ cm とすると、線分OAの長さは $r$ cm となる。

扇形の面積は $48\pi \text{ cm}^2$ であるから、

$$\pi r^2 \times \frac{\theta}{360} = 48\pi$$

ここで、$\theta$ は扇形の中心角である。

展開図から、扇形の弧の長さは、底面の円の円周に等しい。

底面の円の半径は $4$ cm なので、円周の長さは $2 \pi \times 4 = 8\pi$ cm。

扇形の弧の長さは $2 \pi r \times \frac{\theta}{360} = 8\pi$ cm。

よって、

$$r \times \frac{\theta}{360} = \frac{8\pi}{2\pi} = 4$$

扇形の面積の式に代入すると、

$$\pi r \times r \times \frac{\theta}{360} = \pi r \times 4 = 48\pi$$

$$4 \pi r = 48\pi$$

$$r = \frac{48\pi}{4\pi} = 12$$

したがって、線分OAの長さは $12$ cm である。

(2) 扇形の中心角について

(1)より、扇形の半径 $r = 12$ cm であり、弧の長さは $8\pi$ cm である。

弧の長さ $= 2 \pi r \times \frac{\theta}{360}$ であるから、

$$2 \pi \times 12 \times \frac{\theta}{360} = 8\pi$$

$$\frac{24\pi \theta}{360} = 8\pi$$

$$\theta = \frac{8\pi \times 360}{24\pi} = \frac{8 \times 360}{24} = \frac{360}{3} = 120$$

したがって、扇形の中心角は $120$ 度である。

3. 最終的な答え

(1) 線分OAの長さ: 12 cm

(2) 扇形の中心角: 120 度