右図は、ある立体の展開図で、おうぎ形の面積は $48\pi$ cm$^2$である。円周率は $\pi$ とする。 (1) 線分OAの長さを求める。 (2) おうぎ形の中心角を求める。 図には、底面の円の半径が4cmと示されている。

1. 問題の内容

右図は、ある立体の展開図で、おうぎ形の面積は $48\pi$ cm$^2$である。円周率は $\pi$ とする。

(1) 線分OAの長さを求める。

(2) おうぎ形の中心角を求める。

図には、底面の円の半径が4cmと示されている。

2. 解き方の手順

(1) 線分OAの長さ

おうぎ形の面積 $S$ は、半径を $r$、中心角を $\theta$ (ラジアン) とすると、

$S = \frac{1}{2}r^2 \theta$

または、おうぎ形の弧の長さを $l$ とすると、

$S = \frac{1}{2}rl$

と表せる。

ここでは、底面の円周がおうぎ形の弧の長さに等しいことを利用する。底面の円の半径は4cmなので、円周は $2\pi \times 4 = 8\pi$ cm である。

したがって、おうぎ形の弧の長さは $8\pi$ cmである。

おうぎ形の面積が $48\pi$ cm$^2$ なので、

$48\pi = \frac{1}{2} \times OA \times 8\pi$

$48\pi = 4\pi \times OA$

$OA = \frac{48\pi}{4\pi} = 12$

したがって、線分OAの長さは12cmである。

(2) おうぎ形の中心角

おうぎ形の弧の長さ $l$ は、$l = r\theta$ と表せる。ここで、$r$ はおうぎ形の半径、$\theta$ は中心角（ラジアン）である。

(1)より、$l = 8\pi$ cm, $r = OA = 12$ cm なので、

$8\pi = 12\theta$

$\theta = \frac{8\pi}{12} = \frac{2}{3}\pi$ (ラジアン)

度数法で表すと、$\frac{2}{3}\pi \times \frac{180}{\pi} = \frac{2}{3} \times 180 = 120$ 度となる。

3. 最終的な答え

(1) 線分OAの長さは12 cm

(2) おうぎ形の中心角は120度