円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線ACとBDは直交している。$\angle BAC = \alpha = 40^\circ$のとき、$\angle BCD = \beta$を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、対角線ACとBDは直交している。$\angle BAC = \alpha = 40^\circ$のとき、$\angle BCD = \beta$を求めよ。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle BDC = \angle BAC = \alpha = 40^\circ$である。

* 対角線ACとBDの交点をEとすると、$\angle BEC = 90^\circ$である。

* $\triangle BEC$において、$\angle EBC = 90^\circ - \angle BCE = 90^\circ - \beta$である。

* 円周角の定理より、$\angle CAD = \angle CBD$である。

* また、$\angle CAD = 90^\circ - \angle ADC = 90^\circ - \angle BDC = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$である。

* したがって、$\angle CBD = 50^\circ$である。

* $\angle ABD + \angle DBC = \angle ABC$.

* ここで、$\angle ACB=\angle ADB$.

* $\triangle AED$において、$\angle ADE = 40^\circ$、$\angle AED = 90^\circ$なので、$\angle DAE = 180^\circ - 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$となる。円周角の定理から、$\angle DCE = \angle DAE = 50^\circ$が成り立つ。

* したがって、$\angle BCD = \beta = \angle BCE + \angle DCE$。ここで、$\angle BCD = \beta = \angle BCE = 50^\circ$である。

* ここで、$\angle ABC = 90^\circ - \alpha + \beta$。

* $\angle BAC = \alpha = 40^\circ$、$\angle BDC = 40^\circ$である。

* $\angle BEC = 90^\circ$

* $\angle EBC = 90^\circ - \beta$

$\angle CAD = \angle CBD$である

$\angle CAD = 90^\circ - \angle BDC = 50^\circ$

$\angle CBD = 50^\circ$

$\angle CBD = \angle CBE = 50^\circ$.

$\angle EBC = 50^\circ = 90^\circ - \beta$

$\beta = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$である。

$\angle ACB = \angle ADB$

* $\angle ADB = 90 - \angle DBA = 90 - \beta = 40$.

3. 最終的な答え

50度