四角形ABCDが円に内接しており、線分ADとBCの交点をE、線分ABとCDの交点をFとする。 角EBC (β) が30°、角DAC (γ) が50°であるとき、角BFA (α) の大きさを求める問題。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、線分ADとBCの交点をE、線分ABとCDの交点をFとする。

角EBC (β) が30°、角DAC (γ) が50°であるとき、角BFA (α) の大きさを求める問題。

2. 解き方の手順

まず、円に内接する四角形の性質より、対角の和は180°である。したがって、

$∠ADC + ∠ABC = 180°$

$∠BCD + ∠BAD = 180°$

ここで、$\angle ABC = \angle FBE$　なので、

$∠ADC + ∠FBE = 180°$

次に、$\angle DAC = \angle DBC = 50°$ （円周角の定理）。

$\angle FBE = 30°$ なので、$\angle FBC = 30°$。

$\angle ABC = ∠ABF + ∠FBC = ∠ABF + 30°$。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、

$∠ADC + ∠ABC = 180°$

$∠ADC + ∠ABF + 30° = 180°$

三角形FBEにおいて、$∠BFE + ∠FBE + ∠BEF = 180°$なので、

$α + 30° + ∠BEF = 180°$

$∠BEF = 150° - α$

四角形ABCDにおいて、$∠BAD = 180° - ∠BCD$である。

また、$∠BAD = ∠BAC + ∠CAD$なので、$∠BAC + 50° = 180° - ∠BCD$。

三角形BCFにおいて、$∠BFC + ∠FBC + ∠BCF = 180°$

$α + 30° + ∠BCF = 180°$

$∠BCD = ∠BCF$より、$α + 30° + ∠BCD = 180°$なので、$∠BCD = 150° - α$

よって、$∠BAD = 180° - (150° - α) = 30° + α$

また、$∠BAC + 50° = 30° + α$なので、$∠BAC = α - 20°$

ここで四角形ABDCは円に内接しているので、$\angle BDC = \angle BAC = \alpha -20$

$\angle BDC + \angle BDE = \angle ADC$

三角形CDEにおいて、$∠DCE + ∠CED + ∠CDE = 180°$

$\angle DCE + \angle CED + \angle ADC= 180°$

さらに、$\angle CED = 180° - \angle BEF = 180° - (150° - α) = 30° + α$なので、

$\angle DCE + 30° + α + \angle ADC= 180°$

$\angle CAD = 50°$なので、弧CDに対する円周角は50°。よって、$∠CBD = 50°$

$\angle FBC= 30°$より、$∠FBA = \angle CBA - 30°$

$\angle CDA = \angle CBA - ∠A = 180^{\circ}- \angle CBA - \angle B$

$\angle F = \alpha$

$\angle E = 180 -30 - \alpha = 150 -\alpha$

$\angle D = ∠ADE = ∠E + \angle ACB$

$\angle FCD + \angle BAD = 180$

$\angle ACB = \angle ADB = \angle ADE$

$∠BFA = ∠EAD - ∠EBC$

$α= \gamma - \beta = 50 - 30= 20$

3. 最終的な答え

20°