四角形ABCDが円に内接しており、円の中心Oが対角線BD上にある。角$\beta$が40°であるとき、角$\alpha$の大きさを求める。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接しており、円の中心Oが対角線BD上にある。角$\beta$が40°であるとき、角$\alpha$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

* 円周角の定理より、$\angle BAD = \angle BCD = \beta = 40^\circ$。

* 四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180°である。よって、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$。これは問題文中の$\beta$の定義と矛盾しない。

* $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$。

* 三角形AODはOA=ODの二等辺三角形なので、$\angle OAD = \angle ODA = \alpha$。

* 三角形AODにおいて、$\angle AOD = 180^\circ - 2\alpha$。

* 円周角の定理より、$\angle AOD = 2 \angle ABD$。

* したがって、$2\angle ABD = 180^\circ - 2\alpha$。つまり$\angle ABD = 90^\circ - \alpha$。

* $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \alpha$。ここで、$\angle ADC = \alpha$を利用している。（後述）

* $\angle DBC = 180^\circ - \alpha - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ - \beta = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$。

* $\angle ACD = \angle ABD$なので、$\angle ACD = 90^\circ - \alpha$。

* $\angle CAD = \angle CBD$なので、$\angle CAD = 50^\circ$。

* $\angle DAB = \angle DAO + \angle OAB = 40^\circ = \beta$。ここで、$\angle DAO = \angle ODA = \alpha$を利用している。

* $\angle ADC = \angle ADO + \angle ODC = \alpha + \angle ODC$となる。ここで、$\angle ODC$を求める。$\angle ODC = 50^\circ - \angle ODA$

* $\angle ADC = \alpha$とすると、四角形ABCDにおいて$\angle ABC = 180^\circ - \alpha$が成り立つ。

* $\angle AOD = 2\angle ABD = 180^\circ - 2\alpha$。

$\angle AOC = 2\angle ABC = 360^\circ - 2\alpha$。

ここで、$\angle AOD + \angle AOC = 360^\circ$より、$180^\circ - 2\alpha + 2 \beta = 360^\circ$が成り立つ。

* $\angle ADB = \alpha$、$\angle ACB = \alpha$となり、$\beta = 40^\circ$より、$\alpha = 50^\circ$。

3. 最終的な答え

50°