$\triangle ABC$において、$AB = 4, BC = 2\sqrt{5}, \angle ABC = 90^\circ$である。このとき、$AC$の長さを求め、さらに、点$B$を端点とする半直線$BC$上に$B$と異なる点$O$をとり、$O$を中心とし$B$を通る円$O$を考える。(1) 円$O$が直線$AC$に接するとき、$\triangle ABC$の何が直線$AO$上にあるかを求め、$BO:OC$の比を求め、円$O$の半径を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB = 4, BC = 2\sqrt{5}, \angle ABC = 90^\circ$である。このとき、$AC$の長さを求め、さらに、点$B$を端点とする半直線$BC$上に$B$と異なる点$O$をとり、$O$を中心とし$B$を通る円$O$を考える。(1) 円$O$が直線$AC$に接するとき、$\triangle ABC$の何が直線$AO$上にあるかを求め、$BO:OC$の比を求め、円$O$の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、$AC$の長さを求める。$\triangle ABC$は直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 4^2 + (2\sqrt{5})^2$

$AC^2 = 16 + 20 = 36$

$AC = 6$

次に、円$O$が直線$AC$に接するとき、$\triangle ABC$の内心が直線$AO$上にある。なぜなら、内接円の中心（内心）は、三角形の各頂点からの角の二等分線の交点であり、$O$から$AC$に下ろした垂線は、円$O$の半径であり、かつ$AC$に接しているため、$AO$は$\angle BAC$の二等分線となる。

次に、$BO:OC$を求める。$O$から$AC$に下ろした垂線の足を$D$とする。$\triangle ABO$と$\triangle ADO$において、$AO$は共通、$BO=OD$（円の半径）、$\angle ABO = \angle ADO = 90^{\circ}$より、$\triangle ABO \equiv \triangle ADO$。よって、$AB = AD = 4$。したがって、$CD = AC - AD = 6 - 4 = 2$。$\triangle ODC$は直角三角形なので、$OC^2 = OD^2 + CD^2$、$OC^2 = BO^2 + 2^2$、$OC^2 = BO^2 + 4$。ここで、$BC = BO + OC = 2\sqrt{5}$なので、$OC = 2\sqrt{5} - BO$。したがって、$(2\sqrt{5} - BO)^2 = BO^2 + 4$、$20 - 4\sqrt{5}BO + BO^2 = BO^2 + 4$、$4\sqrt{5}BO = 16$、$BO = \frac{16}{4\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$。よって、$OC = 2\sqrt{5} - \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{10 - 4}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$。

したがって、$BO:OC = \frac{4}{\sqrt{5}} : \frac{6}{\sqrt{5}} = 4:6 = 2:3$

最後に、円$O$の半径を求める。半径は$BO$なので、$\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

ア：6

イ：①(内心)

ウ：2

エ：3

オ：4

カ：5

キ：5