K市の人口推移に関する問題です。5年前の人口が10万人、現在の人口が13.8万人であり、毎年一定の割合 $r$ で増加していると仮定します。 $y = 10^5 \times セ$ $log_{10}y = ソ + タlog_{10}r$ $log_{10}y = log_{10}(1.38 \times 10^5) - チ + log_{10}1.38$ $log_{10}r = ツ$ $y' = 10^5 \times テ$ これらの空欄を埋め、9年後の人口 $y'$ がどの範囲に入るかを答えます。

1. 問題の内容

K市の人口推移に関する問題です。5年前の人口が10万人、現在の人口が13.8万人であり、毎年一定の割合 $r$ で増加していると仮定します。

$y = 10^5 \times セ$

$log_{10}y = ソ + タlog_{10}r$

$log_{10}y = log_{10}(1.38 \times 10^5) - チ + log_{10}1.38$

$log_{10}r = ツ$

$y' = 10^5 \times テ$

これらの空欄を埋め、9年後の人口 $y'$ がどの範囲に入るかを答えます。

2. 解き方の手順

まず、$y = 138000$ であることから、$y = 10^5 \times 1.38$ となります。したがって、$セ$ は $1.38$ です。選択肢から $セ$ は ② となります。

次に、$log_{10}y = log_{10}(1.38 \times 10^5) = log_{10}1.38 + log_{10}10^5 = 5 + log_{10}1.38$ となります。

また、5年前の人口が10万人で、毎年 $r$ 倍になっているので、現在の人口は $100000 \times r^5 = 138000$ となります。

$r^5 = 1.38$

$log_{10}r^5 = log_{10}1.38$

$5log_{10}r = log_{10}1.38$

$log_{10}r = \frac{1}{5}log_{10}1.38$

$log_{10}y = log_{10}(10^5 \cdot r^5) = log_{10}10^5 + log_{10}r^5 = 5 + 5log_{10}r$

$log_{10}y = ソ + タlog_{10}r$ と比較すると、$ソ = 5$ であり、$タ = 5$ となります。選択肢から $ソ$ と $タ$ は ⑤ となります。

$log_{10}y = log_{10}(1.38 \times 10^5)$ であり、 $log_{10}1.38 \times 10^5 = log_{10}1.38 + log_{10}10^5 = 5 + log_{10}1.38$ となります。

$log_{10}y = log_{10}(1.38 \times 10^5) = log_{10}1.38 + 5 = 5+ log_{10}1.38$ となります。よって、$チ = 0$ となります。選択肢から $チ$ は 0に最も近い⑤ となります。

①と②より、

$log_{10}y = 5 + 5log_{10}r$

$log_{10}y = 5 + log_{10}1.38$

$5log_{10}r = log_{10}1.38$

$log_{10}r = \frac{1}{5}log_{10}1.38$

$log_{10}r = ツ$ より、$ツ$ は $\frac{1}{5}log_{10}1.38$ となります。選択肢から $ツ$ は ① となります。

9年後の人口は、$y' = 10^5 \times r^{5+9-5} = 10^5 \times r^9 = 10^5 \times (r^5)^{9/5} = 10^5 \times (1.38)^{9/5} = 10^5 \times 1.38 \times r^{4}$ となります。

$y'=10^5 \times テ$

$y' = 100000 \times r^{9} = 100000 \times (1.38)^{\frac{9}{5}} = 100000 \times (1.38)^{1.8}$

$log_{10}(r^9)=9log_{10}r=9 \times (1/5) log_{10}1.38=(9/5) log_{10}1.38=(1.8) log_{10}1.38 \approx 1.8 \times 0.14 = 0.252$

よって、$r^9 \approx 10^{0.252} \approx 1.786$

$y' = 100000 \times 1.786 \approx 178600$

$y=138000, r = 1.06675 (r^5=1.38)$

$y'=138000 \times r^9=138000 \times (1.06675)^9= 138000 \times 1.8036 \approx 248897$

よって、$y'=10^5 \times 2.488$ に最も近い数字を選ぶことになります。

$テ$ は $2.488...$ であるから、2.488...に近い数字の選択肢は存在しない。

$r^5=1.38, y'=10^5 \times r^9$ より、 $y'=10^5 \times (1.38)^{9/5} = 10^5 (1.38^{1.8}) \approx 248886.8 \approx 248890$

従って、$テ=2.488868$ となり,選択肢から 250000以上260000未満を選択。

3. 最終的な答え

セ: ②

ソ: ⑤

タ: ⑤

チ: ⑤

ツ: ①

ト: ④