問題24は以下の通りです。 $x+y+z = 2\sqrt{3}, xy+yz+zx = -3, xyz = -6\sqrt{3}$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ と $x^3 + y^3 + z^3$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題24は以下の通りです。

$x+y+z = 2\sqrt{3}, xy+yz+zx = -3, xyz = -6\sqrt{3}$ のとき、$x^2 + y^2 + z^2$ と $x^3 + y^3 + z^3$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + y^2 + z^2$ を求めます。

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$ という公式を利用します。

与えられた値から、$x+y+z = 2\sqrt{3}$ と $xy+yz+zx = -3$ を代入すると、

$(2\sqrt{3})^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-3)$

$12 = x^2 + y^2 + z^2 - 6$

したがって、$x^2 + y^2 + z^2 = 18$

次に、$x^3 + y^3 + z^3$ を求めます。

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$ という公式を利用します。

与えられた値から、$x+y+z = 2\sqrt{3}, xy+yz+zx = -3, xyz = -6\sqrt{3}$ と計算した $x^2 + y^2 + z^2 = 18$ を代入すると、

$x^3 + y^3 + z^3 - 3(-6\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})(18 - (-3))$

$x^3 + y^3 + z^3 + 18\sqrt{3} = (2\sqrt{3})(21)$

$x^3 + y^3 + z^3 + 18\sqrt{3} = 42\sqrt{3}$

したがって、$x^3 + y^3 + z^3 = 24\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 + z^2 = 18$

$x^3 + y^3 + z^3 = 24\sqrt{3}$