$a = 2 - \sqrt{3}$のとき、以下の式の値を求めよ。 (1) $a^2 - 4a + 1$ (2) $a^3 - 6a^2 + 5a + 1$

1. 問題の内容

$a = 2 - \sqrt{3}$のとき、以下の式の値を求めよ。

(1) $a^2 - 4a + 1$

(2) $a^3 - 6a^2 + 5a + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a = 2 - \sqrt{3}$を$a^2 - 4a + 1$に代入して計算します。

$a^2 - 4a + 1 = (2 - \sqrt{3})^2 - 4(2 - \sqrt{3}) + 1$

$= (4 - 4\sqrt{3} + 3) - (8 - 4\sqrt{3}) + 1$

$= 7 - 4\sqrt{3} - 8 + 4\sqrt{3} + 1$

$= 0$

(2)

$a = 2 - \sqrt{3}$より、$a - 2 = -\sqrt{3}$なので、両辺を2乗すると、

$(a - 2)^2 = (-\sqrt{3})^2$

$a^2 - 4a + 4 = 3$

$a^2 - 4a + 1 = 0$ となります。

ここで、$a^3 - 6a^2 + 5a + 1$を$(a^2 - 4a + 1)$で割ることを考えます。

$a^3 - 6a^2 + 5a + 1 = (a^2 - 4a + 1)(a - 2) + (-2a+3)$

ここで、$a^2 - 4a + 1 = 0$を用いると、

$a^3 - 6a^2 + 5a + 1 = (a^2 - 4a + 1)(a - 2) + (-2a+3) = 0*(a-2) -2a+3 = -2a+3$

したがって、

$-2a + 3 = -2(2 - \sqrt{3}) + 3 = -4 + 2\sqrt{3} + 3 = -1 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $-1 + 2\sqrt{3}$