$x+y+z=2\sqrt{3}$, $xy+yz+zx=-3$, $xyz=-6\sqrt{3}$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ と $x^3+y^3+z^3$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$x+y+z=2\sqrt{3}$, $xy+yz+zx=-3$, $xyz=-6\sqrt{3}$ のとき、$x^2+y^2+z^2$ と $x^3+y^3+z^3$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2+y^2+z^2$を求めます。

$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ という公式を利用します。

与えられた値 $x+y+z=2\sqrt{3}$ と $xy+yz+zx=-3$ を代入すると、

$(2\sqrt{3})^2 = x^2+y^2+z^2+2(-3)$

$12 = x^2+y^2+z^2-6$

$x^2+y^2+z^2 = 12+6$

$x^2+y^2+z^2 = 18$

次に、$x^3+y^3+z^3$ を求めます。

$x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ という公式を利用します。

与えられた値 $x+y+z=2\sqrt{3}$, $xy+yz+zx=-3$, $xyz=-6\sqrt{3}$ と求めた $x^2+y^2+z^2=18$ を代入すると、

$x^3+y^3+z^3-3(-6\sqrt{3}) = (2\sqrt{3})(18-(-3))$

$x^3+y^3+z^3+18\sqrt{3} = (2\sqrt{3})(21)$

$x^3+y^3+z^3+18\sqrt{3} = 42\sqrt{3}$

$x^3+y^3+z^3 = 42\sqrt{3}-18\sqrt{3}$

$x^3+y^3+z^3 = 24\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$x^2+y^2+z^2 = 18$

$x^3+y^3+z^3 = 24\sqrt{3}$