$f(-1) = 2$, $f'(0) = 0$, $\int_0^1 f(x) dx = -2$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$f(-1) = 2$, $f'(0) = 0$, $\int_0^1 f(x) dx = -2$ を満たす2次関数 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$は2次関数なので、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

このとき、$f'(x) = 2ax + b$ となります。

与えられた条件から、以下の式が得られます。

(1) $f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c = 2$

(2) $f'(0) = 2a(0) + b = b = 0$

(3) $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (ax^2 + bx + c) dx = [\frac{1}{3}ax^3 + \frac{1}{2}bx^2 + cx]_0^1 = \frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b + c = -2$

(2)より、$b = 0$ なので、(1)と(3)は以下のようになります。

(1') $a + c = 2$

(3') $\frac{1}{3}a + c = -2$

(1')より、$c = 2 - a$ なので、これを(3')に代入すると、

$\frac{1}{3}a + (2 - a) = -2$

$\frac{1}{3}a - a = -4$

$-\frac{2}{3}a = -4$

$a = 6$

$c = 2 - a = 2 - 6 = -4$

よって、$f(x) = 6x^2 + 0x - 4 = 6x^2 - 4$

3. 最終的な答え

$f(x) = 6x^2 - 4$