## 問題の概要

## 問題の概要

この問題は、パラメータ $t$ を含む直線 $l: y = (2t+1)x - t^2 - t$ について、以下の問いに答えるものです。

1. 直線 $l$ が常に通る点について調べる。

2. $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき、直線 $l$ が通る点の集合 $D$ を調べる。

3. $D$ を図示する。

## 解き方の手順

### (1) 直線 $l$ が通る点について

直線 $l$ の式を $t$ について整理します。

$y = (2t+1)x - t^2 - t$

$t^2 + (2x-1)t + (x-y) = 0$

直線 $l$ が点 $(x, y)$ を通るような実数 $t$ が存在するということは、この $t$ の2次方程式が実数解を持つということです。判別式を $D$ とすると、

$D = (2x-1)^2 - 4(x-y) \ge 0$

$4x^2 - 4x + 1 - 4x + 4y \ge 0$

$4x^2 - 8x + 1 + 4y \ge 0$

$y \ge -x^2 + 2x - \frac{1}{4}$

(i) 直線 $l$ が点 $(0, 0)$ を通るような $t$ が存在するかどうか調べます。

$0 \ge -0^2 + 2(0) - \frac{1}{4}$

$0 \ge -\frac{1}{4}$

これは正しいので、直線 $l$ は点 $(0, 0)$ を通るような $t$ が存在します。

(ii) 直線 $l$ が点 $(0, 10)$ を通るような $t$ が存在するかどうか調べます。

$10 \ge -0^2 + 2(0) - \frac{1}{4}$

$10 \ge -\frac{1}{4}$

これは正しいので、直線 $l$ は点 $(0, 10)$ を通るような $t$ が存在します。

(iii) 直線 $l$ が点 $(-1, 0)$ を通るような $t$ が存在するかどうか調べます。

$0 \ge -(-1)^2 + 2(-1) - \frac{1}{4}$

$0 \ge -1 - 2 - \frac{1}{4}$

$0 \ge -\frac{13}{4}$

これは正しいので、直線 $l$ は点 $(-1, 0)$ を通るような $t$ が存在します。

したがって、(i), (ii), (iii) はすべて正しいので、アは 0 です。

### (2) $t$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲で変化するとき

(1) で得られた $t$ の2次方程式 $t^2 + (2x-1)t + (x-y) = 0$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲に少なくとも1つの実数解を持つ条件を考えます。これは、イに当てはまります。

二次方程式 $f(t) = t^2 + (2x-1)t + x-y = 0$ が $-1 \le t \le 0$ の範囲に少なくとも一つの実数解を持つ条件は、

1. $f(-1)f(0) \le 0$

2. (軸が $-1 \le t \le 0$ にある) かつ (頂点のy座標 $\le 0$)

のどちらかを満たすことです。

$f(-1) = (-1)^2 + (2x-1)(-1) + (x-y) = 1 - 2x + 1 + x - y = 2 - x - y$

$f(0) = 0^2 + (2x-1)(0) + (x-y) = x-y$

よって $f(-1)f(0) = (2-x-y)(x-y) \le 0$ となります。

$y = (2t+1)x - t^2 - t$ より、$t^2 + (2x-1)t + x - y = 0$。

$t = \frac{-(2x-1) \pm \sqrt{(2x-1)^2 - 4(x-y)}}{2} = \frac{1-2x \pm \sqrt{4y - (1-2x)^2}}{2}$

$-1 \le t \le 0$ に実数解を持つということは、少なくとも一つの実数解を持つことです。よって、イは 1 です。

### (3) 領域 D の図示

(2)で求めた式と、y = f(t)の式から t を消去します。$y = (2t+1)x - t^2 - t$ より $t = \frac{x-1}{2}$ です。よって、チは $\frac{x-1}{2}$ になります。

$t$ を消去すると、

$y = (2(\frac{x-1}{2}) + 1)x - (\frac{x-1}{2})^2 - \frac{x-1}{2}$

$y = x^2 - \frac{x^2-2x+1}{4} - \frac{x-1}{2} = \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$.

$y = x^2$ と $y = \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ が接しているのは、$x = -1, 0$。

$t$ が $-1 \le t \le 0$ より、$-1 \le \frac{x-1}{2} \le 0$ なので、$-1 \le x \le 1$。

よって、領域Dを斜線部分で図示したものは 4 です。テは 4 です。

## 最終的な答え

ア: 0

イ: 1

チ: $\frac{x-1}{2}$

テ: 4