(1) $(1+2a-3b)^7$ の展開式における $a^2b^3$ の項の係数を求めます。 (2) $(x^2-3x+1)^{10}$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。

1. 問題の内容

(1) $(1+2a-3b)^7$ の展開式における $a^2b^3$ の項の係数を求めます。

(2) $(x^2-3x+1)^{10}$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 多項定理を利用します。 $(1+2a-3b)^7$ の一般項は、

$$\frac{7!}{p!q!r!}1^p(2a)^q(-3b)^r = \frac{7!}{p!q!r!}2^q(-3)^r a^q b^r$$

ただし、$p+q+r=7$ を満たす非負整数です。$a^2b^3$の項を求めるので、$q=2$, $r=3$ であり、$p+2+3=7$より$p=2$となります。

したがって、$a^2b^3$の項の係数は

$$\frac{7!}{2!2!3!} 2^2 (-3)^3 = \frac{7\cdot6\cdot5\cdot4}{2\cdot2} \cdot 4 \cdot (-27) = 7\cdot6\cdot5 \cdot (-27) = -5670$$

(2) $(x^2-3x+1)^{10}$ の展開式における $x^3$ の項の係数を求めます。多項定理を利用します。

$(x^2-3x+1)^{10}$ の一般項は、

$$\frac{10!}{p!q!r!} (x^2)^p (-3x)^q (1)^r = \frac{10!}{p!q!r!} (-3)^q x^{2p+q}$$

ただし、$p+q+r=10$ を満たす非負整数です。$x^3$の項を求めるので、$2p+q=3$ を満たす必要があります。

$p$ と $q$ は非負整数なので、以下の組み合わせが考えられます。

* $p=0, q=3$ のとき、$r = 10-0-3=7$. このときの係数は $\frac{10!}{0!3!7!} (-3)^3 = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} (-27) = 10 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (-27) = -3240$.

* $p=1, q=1$ のとき、$r = 10-1-1=8$. このときの係数は $\frac{10!}{1!1!8!} (-3)^1 = 10 \cdot 9 \cdot (-3) = -270$.

したがって、$x^3$ の項の係数は $-3240 - 270 = -3510$.

3. 最終的な答え

(1) $-5670$

(2) $-3510$