2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 1$ のグラフを C とするとき、以下の問いに答えます。 (1) グラフ C の頂点の座標を求めます。 (2) $-2 \leq x \leq 1$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。 (3) グラフ C と x 軸の交点を A, B とするとき、線分 AB の長さを求めます。 (4) グラフ C を x 軸方向に 2, y 軸方向に 3 だけ平行移動したグラフの方程式を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = 2x^2 + 4x - 1$ のグラフを C とするとき、以下の問いに答えます。

(1) グラフ C の頂点の座標を求めます。

(2) $-2 \leq x \leq 1$ における $y$ の最大値と最小値を求めます。

(3) グラフ C と x 軸の交点を A, B とするとき、線分 AB の長さを求めます。

(4) グラフ C を x 軸方向に 2, y 軸方向に 3 だけ平行移動したグラフの方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

$y = 2x^2 + 4x - 1$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) - 1$

$y = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 1$

$y = 2((x + 1)^2 - 1) - 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 2 - 1$

$y = 2(x + 1)^2 - 3$

したがって、頂点の座標は $(-1, -3)$。

(2) $-2 \leq x \leq 1$ における $y$ の最大値と最小値を求める。

頂点の x 座標は $x = -1$ で、範囲 $-2 \leq x \leq 1$ に含まれる。

$x = -1$ のとき、$y = -3$。

$x = -2$ のとき、$y = 2(-2)^2 + 4(-2) - 1 = 8 - 8 - 1 = -1$。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1)^2 + 4(1) - 1 = 2 + 4 - 1 = 5$。

したがって、最大値は 5、最小値は -3。

(3) グラフ C と x 軸の交点を A, B とするとき、線分 AB の長さを求める。

$2x^2 + 4x - 1 = 0$ を解く。

解の公式より、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 8}}{4} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{6}}{2}$

A, B の x 座標をそれぞれ $x_1 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}$、 $x_2 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}$ とする。

$AB = |x_2 - x_1| = |\frac{-2 + \sqrt{6}}{2} - \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}| = |\frac{2\sqrt{6}}{2}| = \sqrt{6}$

(4) グラフ C を x 軸方向に 2, y 軸方向に 3 だけ平行移動したグラフの方程式を求める。

$y = 2x^2 + 4x - 1$

平行移動後のグラフの方程式は、

$y - 3 = 2(x - 2)^2 + 4(x - 2) - 1$

$y = 2(x^2 - 4x + 4) + 4x - 8 - 1 + 3$

$y = 2x^2 - 8x + 8 + 4x - 8 - 1 + 3$

$y = 2x^2 - 4x + 2$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(-1, -3)$

(2) 最大値: 5, 最小値: -3

(3) 線分 AB の長さ: $\sqrt{6}$

(4) 平行移動後のグラフの方程式: $y = 2x^2 - 4x + 2$