$\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める。

1. 問題の内容

$\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1}$ が $x$ についての恒等式となるように、定数 $a, b$ の値を定める。

2. 解き方の手順

まず、右辺を通分します。

$\frac{a}{x+2} + \frac{b}{x-1} = \frac{a(x-1) + b(x+2)}{(x+2)(x-1)} = \frac{ax - a + bx + 2b}{(x+2)(x-1)} = \frac{(a+b)x + (2b-a)}{(x+2)(x-1)}$

したがって、

$\frac{5x+1}{(x+2)(x-1)} = \frac{(a+b)x + (2b-a)}{(x+2)(x-1)}$

分母が等しいので、分子も等しくなければなりません。

つまり、

$5x+1 = (a+b)x + (2b-a)$

この等式が $x$ についての恒等式であるためには、各項の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$a+b = 5$

$2b-a = 1$

これらの式を解きます。

最初の式から $a = 5-b$が得られます。

これを2番目の式に代入すると、$2b - (5-b) = 1$となり、$2b - 5 + b = 1$と簡略化されます。

$3b = 6$なので、$b = 2$です。

$a = 5 - b = 5 - 2 = 3$.

したがって、$a = 3, b = 2$。

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 2$