確率変数 $X$ が正規分布 $N(2, 5^2)$ に従うとき、以下の確率を求めます。 (1) $P(-8 \le X \le 12)$ (2) $P(X \le 4)$ (3) $P(0 \le X \le 5)$

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(2, 5^2)$ に従うとき、以下の確率を求めます。

(1) $P(-8 \le X \le 12)$

(2) $P(X \le 4)$

(3) $P(0 \le X \le 5)$

2. 解き方の手順

まず、$X$ を標準化して標準正規分布 $Z$ に変換します。$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ です。ここで、$\mu = 2$、$\sigma = 5$ です。

標準正規分布表を用いて、それぞれの確率を計算します。

(1) $P(-8 \le X \le 12)$ を求める。

$Z_1 = \frac{-8 - 2}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

$Z_2 = \frac{12 - 2}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$P(-8 \le X \le 12) = P(-2 \le Z \le 2)$

$P(-2 \le Z \le 2) = P(Z \le 2) - P(Z \le -2)$

標準正規分布表より、$P(Z \le 2) \approx 0.9772$、$P(Z \le -2) \approx 0.0228$。

$P(-2 \le Z \le 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$

(2) $P(X \le 4)$ を求める。

$Z = \frac{4 - 2}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$

$P(X \le 4) = P(Z \le 0.4)$

標準正規分布表より、$P(Z \le 0.4) \approx 0.6554$

(3) $P(0 \le X \le 5)$ を求める。

$Z_1 = \frac{0 - 2}{5} = \frac{-2}{5} = -0.4$

$Z_2 = \frac{5 - 2}{5} = \frac{3}{5} = 0.6$

$P(0 \le X \le 5) = P(-0.4 \le Z \le 0.6)$

$P(-0.4 \le Z \le 0.6) = P(Z \le 0.6) - P(Z \le -0.4)$

標準正規分布表より、$P(Z \le 0.6) \approx 0.7257$、$P(Z \le -0.4) \approx 0.3446$

$P(-0.4 \le Z \le 0.6) = 0.7257 - 0.3446 = 0.3811$

3. 最終的な答え

(1) $P(-8 \le X \le 12) = 0.9544$

(2) $P(X \le 4) = 0.6554$

(3) $P(0 \le X \le 5) = 0.3811$