$xy$平面上を運動する物体の時刻 $t$ における $x$ 座標と $y$ 座標が、$x(t) = 6.0t$ [m]、$y(t) = -4.0t^2 + 64$ [m] で与えられる。 (1) 時刻 $t=0$ s での物体の位置の、原点からの距離を求める。 (2) 時刻 $t=1$ s での物体の位置ベクトル $\vec{r}(1)$ [m] を、$x$軸方向の基本単位ベクトル $\vec{i}$、$y$軸方向の基本単位ベクトル $\vec{j}$ を用いて表す。 (3) 物体が $x$ 軸を通過する時刻と、その $x$ 座標を求める。

1. 問題の内容

$xy$平面上を運動する物体の時刻 $t$ における $x$ 座標と $y$ 座標が、$x(t) = 6.0t$ [m]、$y(t) = -4.0t^2 + 64$ [m] で与えられる。

(1) 時刻 $t=0$ s での物体の位置の、原点からの距離を求める。

(2) 時刻 $t=1$ s での物体の位置ベクトル $\vec{r}(1)$ [m] を、$x$軸方向の基本単位ベクトル $\vec{i}$、$y$軸方向の基本単位ベクトル $\vec{j}$ を用いて表す。

(3) 物体が $x$ 軸を通過する時刻と、その $x$ 座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $t=0$ を $x(t)$ と $y(t)$ に代入して、座標を求める。

$x(0) = 6.0 \times 0 = 0$ [m]

$y(0) = -4.0 \times 0^2 + 64 = 64$ [m]

原点からの距離 $d$ は、$d = \sqrt{x(0)^2 + y(0)^2}$ で計算できる。

(2) $t=1$ を $x(t)$ と $y(t)$ に代入して、座標を求める。

$x(1) = 6.0 \times 1 = 6.0$ [m]

$y(1) = -4.0 \times 1^2 + 64 = -4.0 + 64 = 60$ [m]

位置ベクトル $\vec{r}(1)$ は、$\vec{r}(1) = x(1) \vec{i} + y(1) \vec{j}$ で表せる。

(3) 物体が $x$ 軸を通過するとき、$y(t) = 0$ となる。

$-4.0t^2 + 64 = 0$

$4.0t^2 = 64$

$t^2 = 16$

$t = \pm 4$

$t$ は時間なので、$t \geq 0$ であるから、$t = 4$ [s]。

そのときの $x$ 座標は、$x(4) = 6.0 \times 4 = 24$ [m]。

3. 最終的な答え

(1) 64 [m]

(2) $\vec{r}(1) = 6.0 \vec{i} + 60 \vec{j}$ [m]

(3) 時刻: 4 [s], $x$座標: 24 [m]