関数 $y = e^{\frac{1}{x}}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{\frac{1}{x}}$ の導関数 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

合成関数の微分公式を用います。$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$y = e^u$ となります。

まず、$u$ を $x$ で微分します。

$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) = \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

次に、$y$ を $u$ で微分します。

$\frac{dy}{du} = \frac{d}{du}(e^u) = e^u$

最後に、合成関数の微分公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を用いて $\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = e^u \cdot (-\frac{1}{x^2}) = e^{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = -\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}$