次の数列の極限を求める問題です。 $$\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n-1} + 3^{n+1}}{2^{n+1} - 3^{n-1}}$$

1. 問題の内容

次の数列の極限を求める問題です。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{2^{n-1} + 3^{n+1}}{2^{n+1} - 3^{n-1}}$$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を $3^{n-1}$ で割ります。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2^{n-1}}{3^{n-1}} + \frac{3^{n+1}}{3^{n-1}}}{\frac{2^{n+1}}{3^{n-1}} - \frac{3^{n-1}}{3^{n-1}}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} + 3^2}{\frac{2^2 \cdot 2^{n-1}}{3^{n-1}} - 1} = \lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} + 9}{4\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} - 1}$$

ここで、$n \to \infty$ のとき $\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} \to 0$ であることを利用します。

$$\lim_{n\to\infty} \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} + 9}{4\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} - 1} = \frac{0 + 9}{4(0) - 1} = \frac{9}{-1} = -9$$

3. 最終的な答え

-9