与えられたベクトルの積と線形結合の結果を用いて、以下の4つの計算をせよ。 (1) $(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$ (2) $(-3 \ -9 \ 3) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ (3) $(-1 \ 2 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ (4) $(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられたベクトルの積と線形結合の結果を用いて、以下の4つの計算をせよ。

(1) $(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(2) $(-3 \ -9 \ 3) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(3) $(-1 \ 2 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(4) $(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1)

$\begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ なので、

$(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 8 \\ -2 \\ 6 \end{pmatrix} = (1 \ 3 \ -1) (2 \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}) = 2((1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}) = 2(-2) = -4$

(2)

$(-3 \ -9 \ 3) = -3(1 \ 3 \ -1)$なので、

$(-3 \ -9 \ 3) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = -3(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = -3(-2) = 6$

(3)

$(-1 \ 2 \ -1) = (1 \ 3 \ -1) + (-2 \ -1 \ 0)$ なので、

$(-1 \ 2 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = ((1 \ 3 \ -1) + (-2 \ -1 \ 0)) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = (1 \ 3 \ -1)\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} + (-2 \ -1 \ 0) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = -2 + (-7) = -9$

(4)

$\begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$なので,

$(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = (1 \ 3 \ -1) (\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}) = (1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} - (1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$.

ここで$(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 + 3 - 0 = 5$.

よって、 $(1 \ 3 \ -1) \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} = -2 - 5 = -7$.

3. 最終的な答え

(1) -4

(2) 6

(3) -9

(4) -7