2つの集合 $A = \{2, 5, a^2\}$ と $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ が与えられており、$A \cap B = \{5, 9\}$ となるような定数 $a, b$ の値を求め、さらに $A \cup B$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの集合 $A = \{2, 5, a^2\}$ と $B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ が与えられており、$A \cap B = \{5, 9\}$ となるような定数 $a, b$ の値を求め、さらに $A \cup B$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{5, 9\}$ であることから、集合Aと集合Bの両方に5と9が含まれている必要があります。

集合Aは $A = \{2, 5, a^2\}$ であり、既に5が含まれているので、$a^2 = 9$ である必要があります。

よって、$a = \pm 3$ です。

次に、集合Bについて考えます。$B = \{4, a-1, a+b, 9\}$ です。

$A \cap B = \{5, 9\}$ であることから、集合Bに5が含まれている必要があります。

(i) $a=3$ のとき:

$B = \{4, 3-1, 3+b, 9\} = \{4, 2, 3+b, 9\}$

このとき、$3+b=5$ でなければならないので、$b=2$ となります。

したがって、$A = \{2, 5, 9\}$, $B = \{4, 2, 5, 9\}$ となり、$A \cap B = \{2, 5, 9\} \neq \{5, 9\}$ なので、$a=3$ は不適です。

(ii) $a=-3$ のとき:

$B = \{4, -3-1, -3+b, 9\} = \{4, -4, -3+b, 9\}$

このとき、$-3+b=5$ でなければならないので、$b=8$ となります。

したがって、$A = \{2, 5, 9\}$, $B = \{4, -4, 5, 9\}$ となり、$A \cap B = \{5, 9\}$ となります。

これは条件を満たします。

よって、$a=-3$ かつ $b=8$ です。

$A \cup B = \{2, 5, 9\} \cup \{4, -4, 5, 9\} = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = 8$, $A \cup B = \{-4, 2, 4, 5, 9\}$