因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、式 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ が成り立つことを示す問題です。

1. 問題の内容

因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用して、式 $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ が成り立つことを示す問題です。

2. 解き方の手順

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ を展開して $(a+b)^3$ になることを示します。

$(a+b)^3$ を展開します。

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)(a+b)$

まず、$(a+b)(a+b)$ を計算します。

$(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

次に、$(a^2 + 2ab + b^2)(a+b)$ を計算します。

$(a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

したがって、$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$ が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3$