この問題は、以下の3つのパートから構成されています。 (1) 2次方程式を解く問題が2問あります。 (2) 複素数の等式を満たす実数 $x$、$y$ を求める問題が2問あります。 (3) 複素数の計算問題が4問あります。

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つのパートから構成されています。

(1) 2次方程式を解く問題が2問あります。

(2) 複素数の等式を満たす実数 $x$、$y$ を求める問題が2問あります。

(3) 複素数の計算問題が4問あります。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式を解く

(1-1) $x^2 = -2$

$x = \pm \sqrt{-2} = \pm \sqrt{2}i$

(1-2) $x^2 = -4$

$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$

(2) 複素数の等式を満たす実数 $x$、$y$ を求める

複素数の等式では、実部と虚部がそれぞれ等しくなることを利用します。

(2-1) $(x+2) + yi = 1 - 3i$

実部を比較すると $x+2 = 1$。したがって $x = -1$。

虚部を比較すると $y = -3$。

(2-2) $(x-1) + (2y+3)i = 0$

これは $(x-1) + (2y+3)i = 0 + 0i$ と考えることができます。

実部を比較すると $x-1 = 0$。したがって $x = 1$。

虚部を比較すると $2y+3 = 0$。したがって $y = -\frac{3}{2}$。

(3) 複素数の計算

(3-1) $3i + 5i = 8i$

(3-2) $(2 + 3i) - 6i = 2 + (3-6)i = 2 - 3i$

(3-3) $(1+i)(1-i) = 1 - i + i - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

(3-4) $\frac{5}{2-i}$

分母を実数化するために、分母の共役複素数 $2+i$ を分母と分子にかけます。

$\frac{5}{2-i} = \frac{5(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{10+5i}{4 - i^2} = \frac{10+5i}{4-(-1)} = \frac{10+5i}{5} = 2 + i$

3. 最終的な答え

(1)

(1-1) $x = \pm \sqrt{2}i$

(1-2) $x = \pm 2i$

(2)

(2-1) $x = -1$, $y = -3$

(2-2) $x = 1$, $y = -\frac{3}{2}$

(3)

(3-1) $8i$

(3-2) $2 - 3i$

(3-3) $2$

(3-4) $2 + i$