与えられた多項式を因数分解してください。 与えられた式は $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ です。

1. 問題の内容

与えられた多項式を因数分解してください。

与えられた式は $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

定数項の $-2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1)$

したがって、多項式は

$2x^2 + (-3y + 5)x - (2y - 3)(y - 1)$

と書けます。

この式を$(ax + by + c)(dx + ey + f)$ の形に因数分解できると仮定します。

$2x^2$ の項から、$a=2, d=1$ または $a=1, d=2$ が考えられます。

$-(2y - 3)(y - 1)$ の項から、$by + c$ と $ey + f$ の組み合わせを考えます。

ここでは、

$(2x + y + c)(x - 2y + f)$

$(2x - y + c)(x + 2y + f)$

$(2x + 2y + c)(x - y + f)$

などの組み合わせが考えられます。

係数を比較して、

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y + a)(x - 2y + b)$

と仮定します。

展開すると、

$2x^2 - 4xy + 2bx + xy - 2y^2 + by + ax - 2ay + ab$

$= 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2b + a)x + (b - 2a)y + ab$

係数を比較すると、

$2b + a = 5$

$b - 2a = 5$

$ab = -3$

最初の2つの式から、$2b + a = 5$ と $b - 2a = 5$ を解きます。

$2b + a = 5$ より、$a = 5 - 2b$

$b - 2(5 - 2b) = 5$

$b - 10 + 4b = 5$

$5b = 15$

$b = 3$

$a = 5 - 2(3) = -1$

$ab = (3)(-1) = -3$

したがって、因数分解された式は

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$