問題4では、2次方程式 $2x^2 + x - 5 = 0$ と $2x^2 + x + 5 = 0$ を解の公式を用いて解く必要があります。 問題5では、2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$, $x^2 - 6x + 9 = 0$, $4x^2 - x + 1 = 0$, $4x^2 - x - 1 = 0$ の解を判別する必要があります。

1. 問題の内容

問題4では、2次方程式 $2x^2 + x - 5 = 0$ と $2x^2 + x + 5 = 0$ を解の公式を用いて解く必要があります。

問題5では、2次方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$, $x^2 - 6x + 9 = 0$, $4x^2 - x + 1 = 0$, $4x^2 - x - 1 = 0$ の解を判別する必要があります。

2. 解き方の手順

問題4(1):

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

$2x^2 + x - 5 = 0$ において、$a = 2$, $b = 1$, $c = -5$ です。

これを解の公式に代入します。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-5)}}{2(2)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 40}}{4}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$

問題4(2):

解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を用います。

$2x^2 + x + 5 = 0$ において、$a = 2$, $b = 1$, $c = 5$ です。

これを解の公式に代入します。

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(5)}}{2(2)}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 40}}{4}$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{-39}}{4}$

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{39}}{4}$

問題5(1):

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用います。

$x^2 - 4x + 1 = 0$ において、$a = 1$, $b = -4$, $c = 1$ です。

$D = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 > 0$

よって、異なる2つの実数解を持ちます。

問題5(2):

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用います。

$x^2 - 6x + 9 = 0$ において、$a = 1$, $b = -6$, $c = 9$ です。

$D = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

よって、重解を持ちます。

問題5(3):

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用います。

$4x^2 - x + 1 = 0$ において、$a = 4$, $b = -1$, $c = 1$ です。

$D = (-1)^2 - 4(4)(1) = 1 - 16 = -15 < 0$

よって、異なる2つの虚数解を持ちます。

問題5(4):

判別式 $D = b^2 - 4ac$ を用います。

$4x^2 - x - 1 = 0$ において、$a = 4$, $b = -1$, $c = -1$ です。

$D = (-1)^2 - 4(4)(-1) = 1 + 16 = 17 > 0$

よって、異なる2つの実数解を持ちます。

3. 最終的な答え

問題4(1): $x = \frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4}$

問題4(2): $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{39}}{4}$

問題5(1): 異なる2つの実数解

問題5(2): 重解

問題5(3): 異なる2つの虚数解

問題5(4): 異なる2つの実数解