問題6：2次方程式 $2x^2 + 3x - k = 0$ が異なる2つの虚数解を持つような定数 $k$ の値を求める。 問題7：次の2次方程式の2つの解 $\alpha$ と $\beta$ の和と積を求める。 (1) $3x^2 + x + 5 = 0$ (2) $2x^2 - x - 8 = 0$

1. 問題の内容

問題6：2次方程式 $2x^2 + 3x - k = 0$ が異なる2つの虚数解を持つような定数 $k$ の値を求める。

問題7：次の2次方程式の2つの解 $\alpha$ と $\beta$ の和と積を求める。

(1) $3x^2 + x + 5 = 0$

(2) $2x^2 - x - 8 = 0$

2. 解き方の手順

問題6：

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ が異なる2つの虚数解を持つための条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ である。

与えられた2次方程式 $2x^2 + 3x - k = 0$ において、$a = 2$, $b = 3$, $c = -k$ である。

判別式 $D$ は $D = 3^2 - 4(2)(-k) = 9 + 8k$ となる。

異なる2つの虚数解を持つ条件は $D < 0$ であるから、$9 + 8k < 0$ を解く。

$8k < -9$

$k < -\frac{9}{8}$

問題7：

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

(1) $3x^2 + x + 5 = 0$ において、$a = 3$, $b = 1$, $c = 5$ である。

$\alpha + \beta = -\frac{1}{3}$

$\alpha \beta = \frac{5}{3}$

(2) $2x^2 - x - 8 = 0$ において、$a = 2$, $b = -1$, $c = -8$ である。

$\alpha + \beta = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$

$\alpha \beta = \frac{-8}{2} = -4$

3. 最終的な答え

問題6：$k < -\frac{9}{8}$

問題7：

(1) $\alpha + \beta = -\frac{1}{3}$

$\alpha \beta = \frac{5}{3}$

(2) $\alpha + \beta = \frac{1}{2}$

$\alpha \beta = -4$