2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$ とするとき、次の値を求めよ。 (1) $\alpha + \beta$ (2) $\alpha \beta$ (3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ (4) $\alpha^2 + \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x - 4 = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$ とするとき、次の値を求めよ。

(1) $\alpha + \beta$

(2) $\alpha \beta$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$

(4) $\alpha^2 + \beta^2$

2. 解き方の手順

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係から、

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\alpha + \beta = -\frac{b}{a}

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\alpha \beta = \frac{c}{a}

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が成り立つ。

(1) $\alpha + \beta$ を求める。

$x^2 + 2x - 4 = 0$ において、解と係数の関係より、

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\alpha + \beta = -\frac{2}{1} = -2

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(2) $\alpha \beta$ を求める。

$x^2 + 2x - 4 = 0$ において、解と係数の関係より、

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\alpha \beta = \frac{-4}{1} = -4

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(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ を求める。

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\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha \beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}

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(1), (2)より、$\alpha + \beta = -2$, $\alpha \beta = -4$ なので、

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\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}

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(4) $\alpha^2 + \beta^2$ を求める。

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\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta

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(1), (2)より、$\alpha + \beta = -2$, $\alpha \beta = -4$ なので、

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\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2(-4) = 4 + 8 = 12

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3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = -2$

(2) $\alpha \beta = -4$

(3) $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{2}$

(4) $\alpha^2 + \beta^2 = 12$