問題は3つあります。 問題1: 次の計算をして、商と余りを求めなさい。 (1) $(x^2 + 5x + 2) \div (x + 1)$ (2) $(x^3 + 3x^2 - 2) \div (x - 1)$ 問題2: $p(x) = x^3 - 4x^2 + x - 5$ のとき、次の式で割ったときの余りを求めなさい。 (1) $x - 1$ (2) $x + 1$ 問題3: 次の式が $p(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ の因数であるかどうか調べなさい。 (1) $x - 1$ (2) $x + 1$ (3) $x - 2$ (4) $x + 2$

1. 問題の内容

問題は3つあります。

問題1: 次の計算をして、商と余りを求めなさい。

(1) $(x^2 + 5x + 2) \div (x + 1)$

(2) $(x^3 + 3x^2 - 2) \div (x - 1)$

問題2: $p(x) = x^3 - 4x^2 + x - 5$ のとき、次の式で割ったときの余りを求めなさい。

(1) $x - 1$

(2) $x + 1$

問題3: 次の式が $p(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4$ の因数であるかどうか調べなさい。

(1) $x - 1$

(2) $x + 1$

(3) $x - 2$

(4) $x + 2$

2. 解き方の手順

問題1: 多項式の割り算を実行します。

(1) $(x^2 + 5x + 2) \div (x + 1)$

筆算または組み立て除法を行います。

$x^2+5x+2 = (x+1)(x+4)-2$

商は $x+4$ 、余りは $-2$ です。

(2) $(x^3 + 3x^2 - 2) \div (x - 1)$

$x^3 + 3x^2 - 2 = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) + 2$

商は $x^2 + 4x + 4$ 、余りは $2$ です。

問題2: 剰余の定理を利用します。$p(x)$ を $x - a$ で割った余りは $p(a)$ です。

(1) $x - 1$ で割った余りは $p(1)$ です。

$p(1) = (1)^3 - 4(1)^2 + (1) - 5 = 1 - 4 + 1 - 5 = -7$

余りは $-7$ です。

(2) $x + 1$ で割った余りは $p(-1)$ です。

$p(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) - 5 = -1 - 4 - 1 - 5 = -11$

余りは $-11$ です。

問題3: 因数定理を利用します。$p(a) = 0$ ならば、$x - a$ は $p(x)$ の因数です。

(1) $x - 1$ が因数かどうか調べる。

$p(1) = (1)^3 - (1)^2 - 4(1) + 4 = 1 - 1 - 4 + 4 = 0$

$p(1)=0$なので、$x-1$ は $p(x)$ の因数です。

(2) $x + 1$ が因数かどうか調べる。

$p(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 - 4(-1) + 4 = -1 - 1 + 4 + 4 = 6$

$p(-1) \neq 0$ なので、$x + 1$ は $p(x)$ の因数ではありません。

(3) $x - 2$ が因数かどうか調べる。

$p(2) = (2)^3 - (2)^2 - 4(2) + 4 = 8 - 4 - 8 + 4 = 0$

$p(2) = 0$ なので、$x - 2$ は $p(x)$ の因数です。

(4) $x + 2$ が因数かどうか調べる。

$p(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 - 4(-2) + 4 = -8 - 4 + 8 + 4 = 0$

$p(-2) = 0$ なので、$x + 2$ は $p(x)$ の因数です。

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 商: $x + 4$、余り: $-2$

(2) 商: $x^2 + 4x + 4$、余り: $2$

問題2:

(1) 余り: $-7$

(2) 余り: $-11$

問題3:

(1) 因数である

(2) 因数ではない

(3) 因数である

(4) 因数である