$x$ についての整式 $x^3 + ax + b$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての整式 $x^3 + ax + b$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^3 + ax + b$ が $(x+1)^2$ で割り切れるので、ある1次式 $x+c$ が存在して、

$$x^3 + ax + b = (x+1)^2 (x+c)$$

と表せる。展開すると、

$$x^3 + ax + b = (x^2 + 2x + 1)(x+c) = x^3 + (c+2)x^2 + (2c+1)x + c$$

両辺の係数を比較して、

\begin{align*}

x^2: \quad &c+2 = 0 \\

x: \quad &a = 2c+1 \\

定数項: \quad &b = c

\end{align*}

$c+2 = 0$ より $c = -2$。これを $a = 2c+1$ と $b = c$ に代入すると、

$a = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3$

$b = -2$

(2) 別解：

$P(x) = x^3 + ax + b$ とおく。

$P(x)$ が $(x+1)^2$ で割り切れるとき、$P(x)$ は $(x+1)$ で割り切れるので、$P(-1)=0$。

また、$P'(x) = 3x^2 + a$ であり、$P'(x)$ も $(x+1)$ を因数に持つから、$P'(-1) = 0$。

したがって、

\begin{align*}

P(-1) &= (-1)^3 + a(-1) + b = -1 - a + b = 0 \\

P'(-1) &= 3(-1)^2 + a = 3 + a = 0

\end{align*}

$3+a=0$ より $a = -3$。

$-1 - a + b = 0$ に $a = -3$ を代入すると、 $-1 - (-3) + b = -1 + 3 + b = 2 + b = 0$ より $b = -2$。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -2$