与えられた数列 $\{a_n\}$ は、1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... という数列である。この数列について、以下の問いに答える。 (1) 自然数 $n$ を用いて $n^2$ と表される数が初めて現れるのは第何項か。 (2) 第100項を求めよ。 (3) 初項から第100項までの和を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた数列 $\{a_n\}$ は、1, 1, 4, 1, 4, 9, 1, 4, 9, 16, 1, 4, 9, 16, 25, 1, ... という数列である。この数列について、以下の問いに答える。

(1) 自然数 $n$ を用いて $n^2$ と表される数が初めて現れるのは第何項か。

(2) 第100項を求めよ。

(3) 初項から第100項までの和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 数列の規則性を考えると、1, 4, 9, 16, 25, ...と平方数が現れる。

$1 = 1^2$ は第1項に現れる。

$4 = 2^2$ は第3項に現れる。

$9 = 3^2$ は第6項に現れる。

$16 = 4^2$ は第10項に現れる。

$25 = 5^2$ は第15項に現れる。

このように、平方数 $n^2$ が初めて現れるのは、

$1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2}$ 番目の項である。

(2) 数列の周期性を考える。平方数の現れる位置は上記の通りである。各平方数の間には、1, 4, ..., $(n-1)^2$という数列が挿入されている。数列の長さは$n$項まで続く。

各ブロックの項数は1, 3, 6, 10, 15, ... となり、これは数列 $\{b_n\}$ で $b_n = \frac{n(n+1)}{2}$ と表せる。

$b_n = \frac{n(n+1)}{2} \le 100$ を満たす最大の $n$ を求める。

$n(n+1) \le 200$ であるから、$n=13$ のとき $13 \times 14 = 182 < 200$ であり、$n=14$ のとき $14 \times 15 = 210 > 200$ である。

したがって、$n=13$ まで数列は繰り返される。

第$\frac{13(14)}{2} = 91$ 項は $13^2 = 169$ である。

第92項から第100項までは、1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81となる。

よって、第100項は81である。

(3) 100項までの和を求める。

$S_{100} = \sum_{k=1}^{13} \sum_{i=1}^{k} i^2 + \sum_{i=1}^{9} i^2 = \sum_{k=1}^{13} \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + \frac{9(10)(19)}{6}$

$\sum_{k=1}^{13} \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6} = \frac{1}{6} (2 \sum_{k=1}^{13} k^3 + 3 \sum_{k=1}^{13} k^2 + \sum_{k=1}^{13} k )$

$= \frac{1}{6} (2 (\frac{13(14)}{2})^2 + 3 \frac{13(14)(27)}{6} + \frac{13(14)}{2} ) = \frac{1}{6} (2 (91)^2 + 3 \frac{4914}{6} + 91 ) = \frac{1}{6}( 2 \times 8281 + \frac{3}{6} 4914 + 91) = \frac{1}{6} (16562 + 2457 + 91) = \frac{19110}{6} = 3185$

$\sum_{i=1}^{9} i^2 = \frac{9(10)(19)}{6} = \frac{1710}{6} = 285$

$S_{100} = 3185 + 285 = 3470$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(n+1)}{2}$ 番目

(2) 81

(3) 3470