写真に写っているいくつかの問題のうち、$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$と$\sqrt{2-\sqrt{3}}$の二重根号を外す問題と、$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$の二重根号を外す問題です。

1. 問題の内容

写真に写っているいくつかの問題のうち、$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$と$\sqrt{2-\sqrt{3}}$の二重根号を外す問題と、$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$の二重根号を外す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$を考えます。

二重根号を外す公式 $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ を利用します。

$a+b=4$, $ab=3$ となる $a,b$ を探すと、$a=3, b=1$ となります。

よって、$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - \sqrt{1} = \sqrt{3} - 1$

次に、$\sqrt{2-\sqrt{3}}$を考えます。

このままでは$2\sqrt{ab}$の形になっていないので、$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$と変形できます。

先程の結果より、$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3}-1$なので、$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$となります。

最後に、$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$を考えます。

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{12-2\sqrt{27}}$と変形できます。

二重根号を外す公式 $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ を利用します。

$a+b=12$, $ab=27$ となる $a,b$ を探すと、$a=9, b=3$ となります。

よって、$\sqrt{12-2\sqrt{27}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{3} - 1$

$\sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3}$