数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $2, 3, 7, 16, 32, 57, 93, \dots$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

まず、階差数列を考える。

数列の差を計算すると

$3 - 2 = 1$

$7 - 3 = 4$

$16 - 7 = 9$

$32 - 16 = 16$

$57 - 32 = 25$

$93 - 57 = 36$

階差数列は $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ であり、これは $n^2$ である。

したがって、元の数列の一般項を $a_n$ とすると、階差数列の一般項は $n^2$ であるから、

$a_{n+1} - a_n = n^2$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$a_1 = 2$ であるから、

$a_n = 2 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2$

$\sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} = \frac{2n^3-3n^2+n}{6}$

$a_n = 2 + \frac{2n^3-3n^2+n}{6} = \frac{12 + 2n^3-3n^2+n}{6} = \frac{2n^3-3n^2+n+12}{6}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{2-3+1+12}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$n=2$ のとき、$a_2 = \frac{16-12+2+12}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$n=3$ のとき、$a_3 = \frac{54-27+3+12}{6} = \frac{42}{6} = 7$

$n=4$ のとき、$a_4 = \frac{128-48+4+12}{6} = \frac{96}{6} = 16$

$n=5$ のとき、$a_5 = \frac{250-75+5+12}{6} = \frac{192}{6} = 32$

$n=6$ のとき、$a_6 = \frac{432-108+6+12}{6} = \frac{342}{6} = 57$

$n=7$ のとき、$a_7 = \frac{686-147+7+12}{6} = \frac{558}{6} = 93$

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{2n^3-3n^2+n+12}{6}$