与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解または変形する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ を因数分解または変形する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を$x$について整理します。

$x^2 + (2y-5)x - 6y + 6$

この式を因数分解できるかどうかを考えます。

もし因数分解できるなら、$(x+a)(x+b)$のような形になると考えられます。

$a$と$b$の積は $-6y+6$、和は $2y-5$ になるはずです。

ここで、$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = 0$ とおいて、解の公式を使うこともできます。しかし、ここでは因数分解を試みます。

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$を式変形し、$(x+A)(x+B)$の形を推測します。

$x^2$と$2xy$に着目すると、$(x+y)$の形が出てくるかもしれません。

$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$

$x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6 = (x+y)^2 - y^2 - 5x - 6y + 6$

与えられた式を $(x+ay+b)(x+cy+d)$ の形に因数分解できるか試みます。

展開すると $x^2 + (a+c)xy + acy^2 + (b+d)x + (ad+bc)y + bd$ となります。

これは $x^2 + 2xy - 5x - 6y + 6$ と一致する必要があるので、$a+c=2$, $ac=0$, $b+d=-5$, $ad+bc=-6$, $bd=6$ を満たす必要があります。

$ac=0$ より、$a=0$または$c=0$です。

$a=0$ の場合、$c=2$となり、$b+d=-5$, $2b=-6$, $bd=6$となります。

$2b=-6$ より $b=-3$ となります。

$b+d=-5$ より $-3+d=-5$ なので $d=-2$ となります。

このとき、$bd = (-3)(-2) = 6$ となり、$bd=6$を満たします。

したがって、与えられた式は $(x-3)(x+2y-2)$ と因数分解できます。

$(x-3)(x+2y-2) = x^2+2xy-2x-3x-6y+6 = x^2+2xy-5x-6y+6$

3. 最終的な答え

$(x-3)(x+2y-2)$