与えられた等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。以下の4つのケースについて、一般項を求めます。 (1) 第3項が44、第8項が29 (2) 第15項が22、第45項が112 (3) 公差が5、第10項が50 (4) 初項が100、第7項が64

1. 問題の内容

与えられた等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。以下の4つのケースについて、一般項を求めます。

(1) 第3項が44、第8項が29

(2) 第15項が22、第45項が112

(3) 公差が5、第10項が50

(4) 初項が100、第7項が64

2. 解き方の手順

等差数列の一般項は $a_n = a_1 + (n-1)d$ で表されます。ここで、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。与えられた条件から $a_1$ と $d$ を求め、一般項を求めます。

(1) 第3項が44、第8項が29の場合

$a_3 = a_1 + 2d = 44$

$a_8 = a_1 + 7d = 29$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求めます。2番目の式から1番目の式を引くと、

$5d = 29 - 44 = -15$

$d = -3$

$a_1 + 2(-3) = 44$ より

$a_1 = 44 + 6 = 50$

したがって、一般項は

$a_n = 50 + (n-1)(-3) = 50 - 3n + 3 = 53 - 3n$

(2) 第15項が22、第45項が112の場合

$a_{15} = a_1 + 14d = 22$

$a_{45} = a_1 + 44d = 112$

この2つの式から $a_1$ と $d$ を求めます。2番目の式から1番目の式を引くと、

$30d = 112 - 22 = 90$

$d = 3$

$a_1 + 14(3) = 22$ より

$a_1 = 22 - 42 = -20$

したがって、一般項は

$a_n = -20 + (n-1)(3) = -20 + 3n - 3 = 3n - 23$

(3) 公差が5、第10項が50の場合

$d = 5$

$a_{10} = a_1 + 9d = 50$

$a_1 + 9(5) = 50$ より

$a_1 = 50 - 45 = 5$

したがって、一般項は

$a_n = 5 + (n-1)(5) = 5 + 5n - 5 = 5n$

(4) 初項が100、第7項が64の場合

$a_1 = 100$

$a_7 = a_1 + 6d = 64$

$100 + 6d = 64$ より

$6d = 64 - 100 = -36$

$d = -6$

したがって、一般項は

$a_n = 100 + (n-1)(-6) = 100 - 6n + 6 = 106 - 6n$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 53 - 3n$

(2) $a_n = 3n - 23$

(3) $a_n = 5n$

(4) $a_n = 106 - 6n$