$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^3 + y^3 = 1$ を満たす $x, y$ が存在するとき、$x+y$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x^3 + y^3 = 1$ を満たす $x, y$ が存在するとき、$x+y$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x+y = k$ とおきます。このとき、$y = k-x$ となり、これを $x^3+y^3 = 1$ に代入すると

$x^3 + (k-x)^3 = 1$

$x^3 + k^3 - 3k^2x + 3kx^2 - x^3 = 1$

$3kx^2 - 3k^2x + k^3 - 1 = 0$

$3kx^2 - 3k^2x + (k^3-1) = 0$

$x$ は実数なので、この2次方程式が実数解を持つ条件を考えます。$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ より、$0 \le x \le k$ となります。

$x$ についての2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D \ge 0$ であることです。

$D = (-3k^2)^2 - 4 \cdot 3k \cdot (k^3 - 1) \ge 0$

$9k^4 - 12k^4 + 12k \ge 0$

$-3k^4 + 12k \ge 0$

$3k(4 - k^3) \ge 0$

$k(4 - k^3) \ge 0$

$k(k^3 - 4) \le 0$

ここで、$k = x+y \ge 0$ であることに注意します。

$k \ge 0$ より、$k^3 - 4 \le 0$ が必要です。

$k^3 \le 4$

$k \le \sqrt[3]{4}$

したがって、$0 \le k \le \sqrt[3]{4}$ です。

$x = 0$ のとき、$y = 1$ なので、$k = 1$

$y = 0$ のとき、$x = 1$ なので、$k = 1$

$x = 1$ のとき、$y = 0$ なので、$k = 1$

$x = 0$ のとき、$y = 1$ なので、$k = 1$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 1$

ここで、$x+y = k$ とすると、$k(x^2 - xy + y^2) = 1$

$k > 0$ なので、$x^2 - xy + y^2 = \frac{1}{k}$

$(x+y)^2 - 3xy = \frac{1}{k}$

$k^2 - 3xy = \frac{1}{k}$

$3xy = k^2 - \frac{1}{k}$

$xy = \frac{1}{3}(k^2 - \frac{1}{k})$

解と係数の関係より、$x$ と $y$ は $t^2 - kt + \frac{1}{3}(k^2 - \frac{1}{k}) = 0$ の解になります。この二次方程式が実数解を持つ条件は判別式 $D \ge 0$ です。

$D = k^2 - \frac{4}{3}(k^2 - \frac{1}{k}) \ge 0$

$3k^2 - 4k^2 + \frac{4}{k} \ge 0$

$-k^2 + \frac{4}{k} \ge 0$

$\frac{4}{k} \ge k^2$

$k^3 \le 4$

$k \le \sqrt[3]{4}$

ここで、$x = 1, y = 0$ または $x = 0, y = 1$ のとき、$x+y = 1$ となります。

また、$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}, y = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$ のとき、$x+y = 2 \sqrt[3]{\frac{1}{2}} = \sqrt[3]{4}$ となります。

したがって、$1 \le x+y \le \sqrt[3]{4}$

3. 最終的な答え

$1 \le x+y \le \sqrt[3]{4}$