与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2b + a - b - 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $a^2b + a - b - 1$ と書きます。

最初の2項と最後の2項をそれぞれグループ化します。

$a^2b + a - b - 1 = (a^2b + a) - (b + 1)$

最初のグループから $a$ をくくり出すと、次のようになります。

$a(ab + 1) - (b + 1)$

次に、$a(ab + 1)$の部分を$a(1 + ab)$と書き換えます。

$a(1+ab)-(b+1)$

ここで、$a^2 b + a -b - 1 = a^2 b - b + a - 1$と書き換えます。

最初の2項から$b$をくくりだすと$b(a^2-1)+a-1$となります。

さらに、$a^2-1$を$(a-1)(a+1)$と因数分解すると、$b(a-1)(a+1)+a-1$となります。

$(a-1)$をくくりだすと、$(a-1)(b(a+1)+1)$となります。

これを整理すると、$(a-1)(ab+b+1)$となります。

したがって、$a^2b + a - b - 1$ を正しく因数分解するには、以下のように考えます。

$a^2b + a - b - 1 = a^2b - b + a - 1$

$= b(a^2 - 1) + (a - 1)$

$= b(a - 1)(a + 1) + (a - 1)$

$= (a - 1)[b(a + 1) + 1]$

$= (a - 1)(ab + b + 1)$

3. 最終的な答え

$(a-1)(ab+b+1)$