連立不等式 $\begin{cases} 2x - 8 > 6(x - 2) \\ x > 3a + 1 \end{cases}$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 不等式 $2x - 8 > 6(x - 2)$ の解を求めます。 (2) この連立不等式の解が存在しないとき、$a$ の値の範囲を求めます。 (3) この連立不等式の解に入る整数が3つだけとなるとき、$a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

連立不等式

$\begin{cases}

2x - 8 > 6(x - 2) \\

x > 3a + 1

\end{cases}$

について、以下の問いに答える問題です。

(1) 不等式 $2x - 8 > 6(x - 2)$ の解を求めます。

(2) この連立不等式の解が存在しないとき、$a$ の値の範囲を求めます。

(3) この連立不等式の解に入る整数が3つだけとなるとき、$a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $2x - 8 > 6(x - 2)$ を解きます。

$2x - 8 > 6x - 12$

$-4x > -4$

$x < 1$

したがって、不等式①の解は $x < 1$ です。

(2) 連立不等式の解が存在しない条件を考えます。

不等式②は $x > 3a + 1$ です。

連立不等式の解が存在しないためには、$3a + 1 \ge 1$ である必要があります。

$3a + 1 \ge 1$

$3a \ge 0$

$a \ge 0$

したがって、連立不等式の解が存在しないとき、$a$ の値の範囲は $a \ge 0$ です。

(3) 連立不等式の解に入る整数が3つだけとなる条件を考えます。

連立不等式の解は $3a + 1 < x < 1$ となります。

この範囲に含まれる整数が3つであるためには、$x$ は整数値で -2, -1, 0 を含む必要があります。

したがって、$3a+1 < -2$ かつ $3a+1 \ge -3$ である必要があります。

$3a + 1 < -2$ より、$3a < -3$ 、つまり $a < -1$ です。

$3a + 1 \ge -3$ より、$3a \ge -4$ 、つまり $a \ge -\frac{4}{3}$ です。

したがって、$-\frac{4}{3} \le a < -1$ が求める範囲です。

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$

(2) $a \ge 0$

(3) $-\frac{4}{3} \le a < -1$