与えられた式 $x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2)$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2)$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

この式は、$x$ に関する2次式と見なすことができます。定数項 $(2y - 1)(3y + 2)$ を2つの項の積に分解し、それらの和が $5y + 1$ になるようにする必要があります。

まず、$(2y - 1)(3y + 2)$ を展開します。

$$(2y - 1)(3y + 2) = 6y^2 + 4y - 3y - 2 = 6y^2 + y - 2$$

次に、$5y + 1$ になる2つの項を探します。$(2y-1)$と$(3y+2)$の和を計算すると、

$$(2y - 1) + (3y + 2) = 5y + 1$$

となります。したがって、与えられた2次式は以下のように因数分解できます。

$$x^2 + (5y + 1)x + (2y - 1)(3y + 2) = (x + (2y - 1))(x + (3y + 2))$$

展開して確認します。

$$(x + (2y - 1))(x + (3y + 2)) = x^2 + x(3y + 2) + x(2y - 1) + (2y - 1)(3y + 2) \\ = x^2 + 3xy + 2x + 2xy - x + 6y^2 + 4y - 3y - 2 \\ = x^2 + 5xy + x + 6y^2 + y - 2 = x^2 + (5y+1)x + (6y^2+y-2) = x^2 + (5y+1)x + (2y-1)(3y+2)$$

3. 最終的な答え

$(x + 2y - 1)(x + 3y + 2)$