与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-1)(x-3)(x-5)(x-7) + 15$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まずは、式の積を工夫して計算しやすくするために、適切な組み合わせで展開する。

$(-1)+(-7) = -8$ かつ $(-3)+(-5) = -8$ であることに着目して、 $(x-1)(x-7)$ と $(x-3)(x-5)$ をそれぞれ展開する。

すると、

$(x-1)(x-7) = x^2 - 8x + 7$

$(x-3)(x-5) = x^2 - 8x + 15$

ここで、$x^2 - 8x = A$ と置換すると、

与えられた式は、 $(A+7)(A+15) + 15$ となる。

これを展開すると、

$A^2 + 22A + 105 + 15 = A^2 + 22A + 120$

さらに因数分解すると、

$A^2 + 22A + 120 = (A+10)(A+12)$

ここで、$A$ を $x^2 - 8x$ に戻すと、

$(x^2 - 8x + 10)(x^2 - 8x + 12)$

ここで、$x^2 - 8x + 12$ はさらに因数分解できることに注意する。

$x^2 - 8x + 12 = (x-2)(x-6)$

よって、

$(x^2 - 8x + 10)(x-2)(x-6)$

3. 最終的な答え

$(x-2)(x-6)(x^2 - 8x + 10)$