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与えられた二次式 $x^2 - (a+5)x - (2a^2 - a - 6)$ を因数分解します。

代数学因数分解二次式文字式
2025/5/13

1. 問題の内容

与えられた二次式 x2−(a+5)x−(2a2−a−6)x^2 - (a+5)x - (2a^2 - a - 6) を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、定数項である 2a2−a−62a^2 - a - 6 を因数分解します。
2a2−a−6=(2a+3)(a−2)2a^2 - a - 6 = (2a + 3)(a - 2) となります。
次に、与えられた二次式を因数分解した結果を (x+p)(x+q)(x + p)(x + q) とおきます。
このとき、p+q=−(a+5)p + q = -(a+5) および pq=−(2a2−a−6)=−(2a+3)(a−2)pq = -(2a^2 - a - 6) = -(2a+3)(a-2) が成り立ちます。
ここで、p=(2−a)p = (2 - a) および q=−(2a+3)−5=−(2a+3)q = -(2a+3) - 5 = -(2a+3) と仮定します。
すると、
p+q=(2−a)+(3−2a)=−a−5=−(a+5)p + q = (2 - a) + (3-2a) = -a-5 = -(a+5)
pq=(2−a)(−2a−3)=−4a−6+2a2+3a=2a2−a−6pq = (2 - a)(-2a - 3) = -4a - 6 + 2a^2 + 3a = 2a^2 -a -6.
したがって、2a2−a−6=(2a+3)(a−2)2a^2 - a - 6 = (2a+3)(a-2) なので、pq=−(2a2−a−6)=−(2a+3)(a−2)pq = -(2a^2-a-6) = -(2a+3)(a-2).
p=a−2p = a - 2 および q=−2a−3q = -2a -3 とおけば、
p+q=(a−2)+(−2a−3)=−a−5=−(a+5)p+q = (a-2) + (-2a-3) = -a -5 = -(a+5)
pq=(a−2)(−2a−3)=−2a2−3a+4a+6=−2a2+a+6=−(2a2−a−6)pq = (a-2)(-2a-3) = -2a^2 -3a +4a + 6 = -2a^2 +a + 6 = -(2a^2-a-6).
上記の考察より、与えられた二次式は (x+a−2)(x−2a−3)(x + a - 2)(x -2a - 3) と因数分解できます。

3. 最終的な答え

(x+a−2)(x−2a−3)(x + a - 2)(x - 2a - 3)

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