与えられた多項式 $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (y-z)x - 2y^2 + yz$

次に、定数項 $-2y^2 + yz$ を因数分解します。

$-2y^2 + yz = y(-2y+z) = -y(2y-z)$

したがって、多項式は以下のように書き換えられます。

$x^2 + (y-z)x - y(2y-z)$

この式を因数分解するため、$(x+ay)(x+by)$ の形になると仮定します。このとき、$a+b = 1$と $ab = -2$を満たす必要があります。

$a$ と $b$ を解くために、$x$に関する二次方程式 $x^2 + (y-z)x - y(2y-z)$ が因数分解できることを確認する必要があります。

$x^2 + (y-z)x -2y^2 + yz$

この式を因数分解すると、次のようになります。

$x^2 + (y-z)x -2y^2 + yz = (x+2y)(x-y+z)$

検算します。

$(x+2y)(x-y+z) = x^2 -xy + xz + 2xy -2y^2 + 2yz = x^2 +xy + xz -2y^2 + 2yz - zx = x^2 + xy - 2y^2 + yz -zx +yz$

ただし、これは元の式とは異なるため、式をもう一度整理します。

$x^2 + (y-z)x + (-2y^2 + yz)$

定数項を因数分解すると $-2y^2 + yz = y(-2y+z) = -y(2y-z)$ となります。

したがって、求める因数分解は $(x - (2y-z))(x+y)$です。

$(x-2y+z)(x+y) = x^2 + xy - 2xy -2y^2 + xz + yz = x^2 -xy - 2y^2 + xz + yz$.

しかし、元の式は $x^2 + xy - 2y^2 -xz + yz$ なので、符号が一致しません。

元の式を以下のように変形します。

$x^2 + xy - zx -2y^2 + yz = x(x+y-z) -2y^2 + yz$

ここで、与式を以下のように書き換えます。

$x^2 + xy -xz -2y^2 + yz = (x+y)(x-2y) - xz + yz= (x+y)(x-2y) - z(x-y)$.

また、与式は $x^2+xy-xz-2y^2+yz = (x-y)(x+2y)-z(x-y) = (x-y)(x+2y-z)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x-y)(x+2y-z)$