与えられた式を因数分解せよ。 与えられた式は $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ である。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解せよ。

与えられた式は $2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ である。

2. 解き方の手順

与えられた式を $x$ について整理する。

$2x^2 + (y-3)x - (y^2 - 1)$

ここで、定数項$-(y^2 - 1)$を因数分解すると、

$-(y^2 - 1) = -(y - 1)(y + 1) = (1-y)(y+1)$

よって、与式を因数分解すると、

$2x^2 + (y-3)x + (1-y)(y+1) = (2x + y + 1)(x - y + 1)$

因数分解の結果が正しいか展開して確認する。

$(2x + y + 1)(x - y + 1) = 2x^2 - 2xy + 2x + xy - y^2 + y + x - y + 1 = 2x^2 - xy + 3x - y^2 + 1$

与式と一致しないため、やり方を変える。

$2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1$ を $x$ について整理すると、

$2x^2 + (y-3)x - (y^2 - 1)$

たすき掛けで因数分解することを試みる。

$2x^2 + (y-3)x - (y-1)(y+1)$

$(2x + ay+ b)(x+ cy+ d) = 2x^2 + (2c + a)xy + (2d+b)x + ac y^2 + (ad+bc)y + bd$

$ac = -1, 2c + a = 1, 2d+b = -3, bd = 1$

条件を満たすように a,b,c,d を探すと、

$a = 1, c = -1, b = -1, d = -1$

である。

$(2x + y - 1)(x - y - 1) = 2x^2 -2xy -2x + xy -y^2 -y -x + y + 1 = 2x^2 - xy - 3x - y^2 + 1$

したがって、$2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1 = (2x + y + a)(x + by + c)$の形で、a, b, cを探す。

$2x^2 + xy - y^2 - 3x + 1 = (2x - y + 1)(x + y - 1) = 2x^2 + 2xy - 2x -xy -y^2 + y + x + y - 1 = 2x^2 + xy - x - y^2 + 2y - 1$

与式をxについて整理すると、$2x^2 + (y-3)x + (1-y^2)$

となるので、これは因数分解できない。

3. 最終的な答え

与えられた式は因数分解できません。