$x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$のとき、以下の式の値をそれぞれ求める。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{3} - \sqrt{2}$のとき、以下の式の値をそれぞれ求める。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ の値を求める。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ の値を求める。

$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$ より、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x + \frac{1}{x})^2 - 2$

(1)より、$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$なので、

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 4 \times 3 - 2 = 12 - 2 = 10$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ の値を求める。

$(x + \frac{1}{x})^3 = x^3 + 3x^2(\frac{1}{x}) + 3x(\frac{1}{x^2}) + \frac{1}{x^3} = x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x})$

したがって、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (x + \frac{1}{x})^3 - 3(x + \frac{1}{x})$

(1)より、$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$なので、

$x^3 + \frac{1}{x^3} = (2\sqrt{3})^3 - 3(2\sqrt{3}) = 8 \times 3\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 24\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = 18\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{3}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 10$

(3) $x^3 + \frac{1}{x^3} = 18\sqrt{3}$