互いに異なる3つの複素数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の間に、等式 $\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$ が成り立つとき、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。 (2) 複素数平面上の3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする $\triangle$ABC はどのような三角形ですか。

1. 問題の内容

互いに異なる3つの複素数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ の間に、等式 $\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$ が成り立つとき、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。

(2) 複素数平面上の3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする $\triangle$ABC はどのような三角形ですか。

2. 解き方の手順

(1)

与えられた等式を整理します。

$\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$

左辺は $(\gamma - \alpha)^3$ で、右辺は $-8(\beta - \alpha)^3 = (-2)^3(\beta - \alpha)^3 = (-2(\beta-\alpha))^3$ と変形できます。

よって、

$(\gamma - \alpha)^3 = -8(\beta - \alpha)^3$

$(\gamma - \alpha)^3 = (-2(\beta - \alpha))^3$

$(\gamma - \alpha)^3 + (2(\beta - \alpha))^3 = 0$

ここで、$X = \gamma - \alpha$、$Y = 2(\beta - \alpha)$ とおくと、$X^3 + Y^3 = 0$ となります。

$X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 - XY + Y^2) = 0$

よって、$X+Y=0$ または $X^2-XY+Y^2=0$ です。

$X = \gamma - \alpha$、$Y = 2(\beta - \alpha)$を代入します。

$\gamma - \alpha + 2(\beta - \alpha) = 0$ のとき、 $\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha)$ となるので、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2$

$(\gamma-\alpha)^2 - (\gamma-\alpha)(2(\beta-\alpha)) + (2(\beta-\alpha))^2 = 0$ のとき、 $(\gamma - \alpha)^2 - 2(\gamma-\alpha)(\beta-\alpha) + 4(\beta-\alpha)^2 = 0$

両辺を $(\beta-\alpha)^2$ で割ると、$(\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha})^2 - 2(\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}) + 4 = 0$

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = z$ とおくと、$z^2 - 2z + 4 = 0$

$z = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}i$

(2)

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2$ のとき、$C$ は $A$ と $B$ を結ぶ直線上にあるため、三角形が作れません。

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = 1+\sqrt{3}i$ または $\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = 1-\sqrt{3}i$ の場合を考えます。

$\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha} = 1 \pm \sqrt{3}i = 2 e^{\pm i \frac{\pi}{3}}$

したがって、$|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}| = \frac{AC}{AB} = 2$ であり、$\arg(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}) = \pm \frac{\pi}{3}$ なので、$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$

$AC = 2AB$ かつ $\angle BAC = 60^\circ$ の三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, 1 + \sqrt{3}i, 1 - \sqrt{3}i$

(2) $AC = 2AB$ かつ $\angle BAC = 60^\circ$ の三角形