$x$の4次方程式 $x^4 + 2x^3 + ax^2 + 2x + 1 = 0$ （これを(*)とする）について、以下の問に答える。ただし、$a$は実数の定数とする。 (1) $x + \frac{1}{x} = t$ とおくとき、(*)を$t$の方程式として表せ。 (2) $a = 3$ のとき、(*)の解を求めよ。 (3) (*)が異なる4個の実数解をもつとき、$a$のとり得る値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$の4次方程式 $x^4 + 2x^3 + ax^2 + 2x + 1 = 0$ （これを(*)とする）について、以下の問に答える。ただし、$a$は実数の定数とする。

(1) $x + \frac{1}{x} = t$ とおくとき、(*)を$t$の方程式として表せ。

(2) $a = 3$ のとき、(*)の解を求めよ。

(3) (*)が異なる4個の実数解をもつとき、$a$のとり得る値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、(*)を$x^2$で割ると ($x \ne 0$なので割ることができる)、

$x^2 + 2x + a + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$

$(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 2(x + \frac{1}{x}) + a = 0$

ここで、$x + \frac{1}{x} = t$ より、$(x + \frac{1}{x})^2 = t^2$

よって、$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = t^2$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$

したがって、

$(t^2 - 2) + 2t + a = 0$

$t^2 + 2t + a - 2 = 0$

(2)

$a = 3$ のとき、$t^2 + 2t + 3 - 2 = 0$

$t^2 + 2t + 1 = 0$

$(t + 1)^2 = 0$

$t = -1$

$x + \frac{1}{x} = -1$

$x^2 + 1 = -x$

$x^2 + x + 1 = 0$

$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(3)

$t^2 + 2t + a - 2 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(a - 2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12 - 4a}}{2} = -1 \pm \sqrt{3 - a}$

ここで、$x + \frac{1}{x} = t$ より、$x^2 - tx + 1 = 0$

この解は、$x = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2}$

$x$が異なる4個の実数解を持つためには、

(i) $t$ に関する2次方程式 $t^2 + 2t + a - 2 = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ を持つ。

$D = 4 - 4(a - 2) > 0$

$1 - (a - 2) > 0$

$3 - a > 0$

$a < 3$

(ii) $|\alpha| > 2$ かつ $|\beta| > 2$ が必要十分条件。

$t = x + \frac{1}{x}$ において、$x$が実数であるためには、$|t| \ge 2$ が必要である。

$\alpha = -1 + \sqrt{3 - a}$, $\beta = -1 - \sqrt{3 - a}$

$|-1 + \sqrt{3 - a}| > 2$ かつ $|-1 - \sqrt{3 - a}| > 2$

$\sqrt{3 - a} > 3$

$3 - a > 9$

$-a > 6$

$a < -6$

また、

$\sqrt{3-a} -1 > 2$ より $\sqrt{3-a} > 3$ よって $3-a > 9$ つまり $a < -6$

$-\sqrt{3-a} -1 < -2$ より $-\sqrt{3-a} < -1$ よって $\sqrt{3-a} > 1$ よって $3-a > 1$ つまり $a < 2$

$-\sqrt{3-a} -1 > 2$ より $-\sqrt{3-a} > 3$ これはありえない。

$\sqrt{3-a} -1 < -2$ より $\sqrt{3-a} < -1$ これも有り得ない。

$a < -6$を満たせば,$\alpha,\beta$は必ず$|t| > 2$を満たす.

3. 最終的な答え

(1) $t^2 + 2t + a - 2 = 0$

(2) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

(3) $a < -6$