3つの異なる複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ が与えられた等式 $\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$ を満たすとき、以下の問いに答えます。 (1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。 (2) 複素数平面上の3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形 ABC はどのような三角形ですか。

1. 問題の内容

3つの異なる複素数 $\alpha, \beta, \gamma$ が与えられた等式 $\gamma^3 - 3\gamma^2\alpha + 3\gamma\alpha^2 - \alpha^3 = -8(\beta^3 - 3\beta^2\alpha + 3\beta\alpha^2 - \alpha^3)$ を満たすとき、以下の問いに答えます。

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ の値を求めます。

(2) 複素数平面上の3点 A($\alpha$), B($\beta$), C($\gamma$) が同一直線上にないとき、それらを頂点とする三角形 ABC はどのような三角形ですか。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式は、左辺が $(\gamma - \alpha)^3$、右辺が $-8(\beta - \alpha)^3$ と因数分解できることに気づきます。したがって、

$$(\gamma - \alpha)^3 = -8(\beta - \alpha)^3$$

両辺の立方根を取ると、

$$\gamma - \alpha = \sqrt[3]{-8}(\beta - \alpha)$$

$\sqrt[3]{-8} = -2, -2\omega, -2\omega^2$ ここで $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$ は 1 の虚立方根です。

よって、

$$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha), -2\omega(\beta - \alpha), -2\omega^2(\beta - \alpha)$$

したがって、

$$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, -2\omega, -2\omega^2$$

(2) (1)より、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}$ は複素数です。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2$ の場合、$\gamma - \alpha = -2(\beta - \alpha)$となり、$\gamma = -2\beta + \alpha + 2\alpha = 3\alpha - 2\beta$ となり、$\gamma$ は $\alpha$ と $\beta$ を結ぶ直線上にあるため、不適です。

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2\omega$ の場合、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2(\frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}) = 1 - \sqrt{3}i$

$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2\omega^2$ の場合、$\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2(\frac{-1 - \sqrt{3}i}{2}) = 1 + \sqrt{3}i$

これは $\frac{\pi}{3}$ 回転して2倍に拡大する変換を表します。

$\arg(\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}) = \pm \frac{\pi}{3}$ であり、 $|\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha}| = 2$ です。

したがって、$\angle BAC = \frac{\pi}{3}$ であり、$\frac{AC}{AB} = 2$ となります。

よって、三角形 ABC は $\angle BAC = \frac{\pi}{3}$ であり、$AC = 2AB$ であるような三角形です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\gamma - \alpha}{\beta - \alpha} = -2, -2\omega, -2\omega^2$

(2) $\angle BAC = \frac{\pi}{3}$ であり、$AC = 2AB$ であるような三角形です。