与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 - xy - 2y^2 + 2x - 7y - 3$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ について整理します。

$x^2 + (2-y)x - (2y^2 + 7y + 3)$

次に、$2y^2 + 7y + 3$ を因数分解します。

$2y^2 + 7y + 3 = (2y + 1)(y + 3)$

よって、与式は

$x^2 + (2-y)x - (2y + 1)(y + 3)$

$x$ についての二次式と見て、因数分解できるか考えます。

$(x + A)(x + B) = x^2 + (A+B)x + AB$

となるような $A, B$ を探します。

$A + B = 2 - y$

$AB = -(2y + 1)(y + 3)$

$AB = (-2y - 1)(y + 3)$または$AB = (2y + 1)(-y - 3)$

$A=2y+1, B = -y-3$ とおくと

$A + B = 2y + 1 - y - 3 = y - 2$ となり、$A+B = 2-y$ ではない。

$A = -2y-1, B = y+3$ とおくと

$A + B = -2y - 1 + y + 3 = -y + 2 = 2 - y$ となり、条件を満たす。

したがって、

$x^2 + (2-y)x - (2y^2 + 7y + 3) = (x - 2y - 1)(x + y + 3)$

3. 最終的な答え

$(x - 2y - 1)(x + y + 3)$