複素数の積の計算をせよという問題です。具体的には、以下の計算を求められます。 $2 (\cos\frac{5}{12}\pi + i \sin\frac{5}{12}\pi) (\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12})$

## 問題 4 (1) の解答

1. 問題の内容

複素数の積の計算をせよという問題です。具体的には、以下の計算を求められます。

$2 (\cos\frac{5}{12}\pi + i \sin\frac{5}{12}\pi) (\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12})$

2. 解き方の手順

複素数の積の公式を利用します。2つの複素数 $z_1 = r_1 (\cos\theta_1 + i \sin\theta_1)$ と $z_2 = r_2 (\cos\theta_2 + i \sin\theta_2)$ があるとき、その積 $z_1z_2$ は、

$z_1z_2 = r_1r_2 (\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2))$

で与えられます。

与えられた問題をこの公式に当てはめます。

$2 (\cos\frac{5}{12}\pi + i \sin\frac{5}{12}\pi) (\cos\frac{\pi}{12} + i \sin\frac{\pi}{12}) = 2 \cdot 1 \cdot (\cos(\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{12}) + i \sin(\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{12}))$

$\frac{5}{12}\pi + \frac{\pi}{12} = \frac{6}{12}\pi = \frac{1}{2}\pi$ なので、

$2 (\cos\frac{1}{2}\pi + i \sin\frac{1}{2}\pi) = 2 (0 + i \cdot 1) = 2i$

3. 最終的な答え

$2i$