与えられた特徴を持つ2次関数の方程式を求める問題です。具体的には以下の5つの問題があります。 1. 3点$(1, 4), (-1, -2), (-2, 1)$を通る。

1. 問題の内容

与えられた特徴を持つ2次関数の方程式を求める問題です。具体的には以下の5つの問題があります。

1. 3点$(1, 4), (-1, -2), (-2, 1)$を通る。

2. 3点$(-1, 0), (1, -4), (2, -3)$を通る。

3. $y = 2x^2$を$x$方向に-1、$y$方向に3だけ平行移動したもの。

4. 頂点の座標が$(1, -3)$で点$(0, 0)$を通る。

5. 頂点の座標が$(-4, -15)$で点$(-1, 3)$を通る。

2. 解き方の手順

1. 3点を通る2次関数

2次関数を$y = ax^2 + bx + c$とおき、与えられた3点の座標を代入して連立方程式を解く。

1. $4 = a(1)^2 + b(1) + c$

2. $-2 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

3. $1 = a(-2)^2 + b(-2) + c$

これを解くと、$a = 1, b = -2, c = 5$ となる。

2. $0 = a(-1)^2 + b(-1) + c$

3. $-4 = a(1)^2 + b(1) + c$

4. $-3 = a(2)^2 + b(2) + c$

これを解くと、$a = 1, b = -1, c = -2$ となる。

2. 平行移動

関数$y = f(x)$を$x$方向に$p$、$y$方向に$q$だけ平行移動した関数は$y - q = f(x - p)$で表される。つまり、$y = f(x - p) + q$となる。

$y = 2x^2$を$x$方向に-1、$y$方向に3だけ平行移動した関数は$y = 2(x + 1)^2 + 3$となる。

3. 頂点の座標と1点

頂点の座標が$(h, k)$である2次関数は$y = a(x - h)^2 + k$と表せる。

この関数が与えられた点を通ることから、$a$を求める。

頂点の座標が$(1, -3)$であるから、$y = a(x - 1)^2 - 3$とおける。この関数が$(0, 0)$を通るから、$0 = a(0 - 1)^2 - 3$より、$a = 3$となる。

頂点の座標が$(-4, -15)$であるから、$y = a(x + 4)^2 - 15$とおける。この関数が$(-1, 3)$を通るから、$3 = a(-1 + 4)^2 - 15$より、$3 = 9a - 15$となり、$9a = 18$、$a = 2$となる。

3. 最終的な答え

1. $y = x^2 - 2x + 5$

2. $y = x^2 - x - 2$

3. $y = 2(x + 1)^2 + 3 = 2x^2 + 4x + 5$

4. $y = 3(x - 1)^2 - 3 = 3x^2 - 6x$

5. $y = 2(x + 4)^2 - 15 = 2x^2 + 16x + 17$