漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される数列の一般項 $a_n$ を求め、与えられた式 $a_n = \frac{[1]\cdot[2]^{n-1} + ([3] - [4])^{n-1}}{[5]}$ の $[1]$ から $[5]$ に入る数字を求める問題です。

1. 問題の内容

漸化式 $a_1 = 2$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ で定義される数列の一般項 $a_n$ を求め、与えられた式 $a_n = \frac{[1]\cdot[2]^{n-1} + ([3] - [4])^{n-1}}{[5]}$ の $[1]$ から $[5]$ に入る数字を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた漸化式 $a_{n+2} = a_{n+1} + 2a_n$ の特性方程式を求めます。特性方程式は

$x^2 = x + 2$

となります。これを解くと、

$x^2 - x - 2 = 0$

$(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、特性解は $x = 2, -1$ となります。

したがって、一般項は

$a_n = A(2)^{n-1} + B(-1)^{n-1}$

と表すことができます。ここで、$A$と$B$は定数です。

$a_1 = 2$ より、

$2 = A(2)^{1-1} + B(-1)^{1-1} = A + B$

$a_2 = 3$ より、

$3 = A(2)^{2-1} + B(-1)^{2-1} = 2A - B$

これらの連立方程式を解きます。

$A + B = 2$

$2A - B = 3$

2つの式を足し合わせると、

$3A = 5$

$A = \frac{5}{3}$

$B = 2 - A = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$

したがって、$a_n = \frac{5}{3}(2)^{n-1} + \frac{1}{3}(-1)^{n-1}$

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + 1 \cdot (-1)^{n-1}}{3}$

与えられた形式に合わせると、

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (1)^{n-1}}{3}$ となります.

問題文の式と比較すると、

$[1] = 5$

$[2] = 2$

$[3] = -1$

$[4] = 0$

$[5] = 3$

とするのがもっともらしいですが、この問題の場合 [$3$]と[$4$]は [$3$][$4$]となっており($3$引く$4$)、[$3$]が$1$、[$4$]が$0$という推測は間違っています。

数列の最初の数項を計算し，パターンを見てみましょう。

$a_1 = 2$

$a_2 = 3$

$a_3 = a_2 + 2a_1 = 3 + 2(2) = 7$

$a_4 = a_3 + 2a_2 = 7 + 2(3) = 13$

$a_5 = a_4 + 2a_3 = 13 + 2(7) = 27$

一般項は $a_n = \frac{A \cdot 2^{n-1} + B \cdot (-1)^{n-1}}{C}$ の形式であることを仮定します。

$a_1 = \frac{A + B}{C} = 2$

$a_2 = \frac{2A - B}{C} = 3$

上の計算から

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + 1 \cdot (-1)^{n-1}}{3} = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}$

なので、

$[1] = 5$

$[2] = 2$

$[3] = -1$

$[4] = 0$ ではありませんでした。

数列の一般項は$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (-1)^{n-1}}{3}$なので、

$a_n = \frac{5 \cdot 2^{n-1} + (1-2)^{n-1}}{3}$と書けます。

$[1] = 5$

$[2] = 2$

$[3] = 1$

$[4] = 2$

$[5] = 3$

3. 最終的な答え

$[1] = 5$

$[2] = 2$

$[3] = 1$

$[4] = 2$

$[5] = 3$